Teorema Kontinuitas pada Ruang Metrik

Teorema ini menjelaskan hubungan antara kontinuitas suatu fungsi pada ruang metrik dan definisi epsilon-delta. Dalam analisis matematika, teorema ini menunjukkan bahwa konsep kontinuitas yang dipelajari dalam Kalkulus I tetap berlaku dalam konteks yang jauh lebih umum, yaitu pada fungsi yang didefinisikan antara dua ruang metrik.

Suatu fungsi $f$ yang memetakan ruang metrik $(X,d_X)$ ke ruang metrik $(Y,d_Y)$ dikatakan kontinu apabila memenuhi syarat berikut:

Pilih sebuah titik $x \in X$ dan suatu bilangan positif $\varepsilon > 0$. Nilai $\varepsilon$ menyatakan tingkat kedekatan yang diinginkan antara nilai-nilai fungsi di ruang $Y$.
Terdapat suatu bilangan positif $\delta > 0$ yang menentukan seberapa dekat titik-titik di ruang $X$ harus berada terhadap titik $x$.
Jika suatu titik $x'$ memenuhi $$ d_X(x,x') < \delta $$ maka citra kedua titik tersebut juga harus cukup dekat, yaitu $$ d_Y(f(x),f(x')) < \varepsilon $$

Secara intuitif, kontinuitas berarti perubahan kecil pada masukan akan menghasilkan perubahan kecil pada keluaran. Dengan kata lain, fungsi kontinu tidak mengalami perubahan mendadak atau lompatan nilai.

Dalam literatur matematika, karakterisasi ini dikenal sebagai definisi epsilon-delta untuk kontinuitas pada ruang metrik. Teorema kontinuitas menunjukkan bahwa definisi tersebut ekuivalen dengan definisi topologis yang menggunakan himpunan terbuka.

Catatan: Definisi kontinuitas yang dipelajari dalam Kalkulus I sebenarnya merupakan kasus khusus dari definisi yang lebih umum ini. Untuk fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, digunakan metrik standar: $$ d_X(x,x') = |x-x'| $$ $$ d_Y(f(x),f(x')) = |f(x)-f(x')| $$ Dalam konteks tersebut, fungsi dikatakan kontinu di titik $x$ apabila untuk setiap $\varepsilon > 0$ terdapat $\delta > 0$ sehingga $$ |x-x'| < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x')| < \varepsilon $$ Ruang metrik memperluas gagasan ini ke berbagai jenis ruang selain $\mathbb{R}$, tetapi prinsip dasarnya tetap sama.

Contoh Ilustratif
Pembuktian

Contoh Ilustratif

Untuk memahami teorema ini dengan lebih baik, mari kita tinjau contoh sederhana.

Misalkan:

Domain: $X=\mathbb{R}$ dengan metrik standar $d_X(x,x')=|x-x'|$.
Kodomain: $Y=\mathbb{R}$ dengan metrik standar $d_Y(y,y')=|y-y'|$.

Definisikan fungsi:

$$ f(x)=2x $$

Kita akan membuktikan bahwa fungsi ini kontinu menggunakan dua pendekatan yang berbeda, yaitu definisi himpunan terbuka dan definisi epsilon-delta.

1] Kontinuitas melalui Himpunan Terbuka

Dalam topologi yang diinduksi oleh metrik standar, suatu himpunan $V \subseteq Y$ disebut terbuka apabila untuk setiap titik $y \in V$ terdapat suatu $\varepsilon > 0$ sehingga bola terbuka

$$ B_Y(y,\varepsilon)=\{y' \in Y \mid |y-y'| < \varepsilon\} $$

seluruhnya berada di dalam $V$.

Misalkan $V$ adalah himpunan terbuka di $Y$. Pracitra dari $V$ oleh fungsi $f$ adalah

$$ f^{-1}(V)=\{x \in X \mid f(x)\in V\} $$

Karena $f(x)=2x$, diperoleh

$$ f^{-1}(V)=\{x \in \mathbb{R} \mid 2x\in V\} $$

Untuk setiap $y \in V$, terdapat $\varepsilon > 0$ sehingga $B_Y(y,\varepsilon)\subseteq V$.

Akibatnya, untuk setiap $x \in f^{-1}(V)$, terdapat $\delta=\varepsilon/2$ sehingga bola terbuka $B_X(x,\delta)$ seluruhnya berada dalam $f^{-1}(V)$.

Karena pracitra setiap himpunan terbuka tetap merupakan himpunan terbuka, maka fungsi $f(x)=2x$ kontinu menurut definisi topologis.

2] Kontinuitas melalui Definisi Epsilon-Delta

Sekarang kita gunakan definisi epsilon-delta secara langsung.

Ambil sembarang titik $x \in X$ dan pilih $\varepsilon > 0$.

Karena:

$$ f(x)=2x \quad \text{dan} \quad f(x')=2x' $$

maka:

$$ |f(x)-f(x')|=|2x-2x'|=2|x-x'| $$

Agar berlaku:

$$ |f(x)-f(x')| < \varepsilon $$

cukup memilih:

$$ \delta=\frac{\varepsilon}{2} $$

Jika:

$$ |x-x'| < \delta=\frac{\varepsilon}{2} $$

maka:

$$ |f(x)-f(x')| = 2|x-x'| < 2\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)=\varepsilon $$

Jadi, syarat epsilon-delta terpenuhi dan fungsi $f$ terbukti kontinu.

3] Kesimpulan

Contoh ini menunjukkan bahwa:

Fungsi $f(x)=2x$ kontinu karena pracitra setiap himpunan terbuka merupakan himpunan terbuka.
Fungsi yang sama juga memenuhi definisi epsilon-delta.
Kedua pendekatan tersebut menghasilkan konsep kontinuitas yang sama.

Inilah inti dari teorema kontinuitas pada ruang metrik: definisi topologis dan definisi epsilon-delta sebenarnya menggambarkan sifat yang sama dari sebuah fungsi.

Pembuktian

Selanjutnya, kita buktikan bahwa kedua definisi kontinuitas tersebut memang ekuivalen.

Definisi himpunan terbuka: Fungsi $f$ kontinu apabila untuk setiap himpunan terbuka $U \subseteq Y$, pracitra $f^{-1}(U)$ merupakan himpunan terbuka di $X$.
Definisi lingkungan: Untuk setiap $x \in X$ dan setiap himpunan terbuka $U \subseteq Y$ yang memuat $f(x)$, terdapat suatu lingkungan $V$ dari $x$ sehingga $f(V)\subseteq U$.

1] Definisi Himpunan Terbuka Mengimplikasikan Definisi Lingkungan

Misalkan $f$ kontinu menurut definisi himpunan terbuka.

Ambil suatu titik $x \in X$ dan himpunan terbuka $U \subseteq Y$ dengan $f(x)\in U$.

Karena $f^{-1}(U)$ terbuka di $X$, terdapat suatu lingkungan $V$ dari $x$ yang memenuhi:

$$ V\subseteq f^{-1}(U) $$

Dengan menerapkan fungsi $f$ pada kedua sisi, diperoleh:

$$ f(V)\subseteq U $$

Dengan demikian, definisi lingkungan terpenuhi.

2] Definisi Lingkungan Mengimplikasikan Definisi Himpunan Terbuka

Sekarang misalkan definisi lingkungan berlaku.

Ambil sembarang himpunan terbuka $W \subseteq Y$ dan sebuah titik $x \in f^{-1}(W)$.

Dari definisi pracitra diperoleh:

$$ f(x)\in W $$

Karena $W$ terbuka, terdapat suatu lingkungan $V$ dari $x$ sehingga:

$$ f(V)\subseteq W $$

Akibatnya:

$$ V\subseteq f^{-1}(W) $$

Artinya, setiap titik dalam $f^{-1}(W)$ memiliki lingkungan yang seluruhnya berada di dalam $f^{-1}(W)$. Oleh karena itu, $f^{-1}(W)$ merupakan himpunan terbuka di $X$.

Dengan demikian, definisi lingkungan mengimplikasikan definisi himpunan terbuka.

Karena kedua implikasi telah dibuktikan, maka kedua definisi tersebut ekuivalen. Sebuah fungsi kontinu menurut definisi himpunan terbuka jika dan hanya jika memenuhi definisi lingkungan.

Dan seterusnya.