Himpunan Terbatas dalam Ruang Metrik
Dalam suatu ruang metrik \((X, d)\), dengan \(d\) sebagai fungsi yang mengukur jarak antar titik, suatu himpunan bagian \(A \subseteq X\) disebut terbatas apabila terdapat suatu bilangan positif \(\mu > 0\) sehingga untuk setiap pasangan titik \(x, y \in A\), berlaku \(d(x, y) \leq \mu\).
Secara sederhana, semua titik dalam himpunan \(A\) berada dalam jangkauan jarak maksimum tertentu. Tidak ada dua titik dalam himpunan tersebut yang terpisah lebih jauh daripada nilai \(\mu\).
Jika seluruh himpunan \(X\) bersifat terbatas terhadap metrik \(d\), maka \(d\) disebut sebagai metrik terbatas.
Artinya, terdapat suatu batas atas tetap yang membatasi jarak antara setiap pasangan titik dalam ruang tersebut.
Catatan: Jika suatu metrik bersifat terbatas, maka setiap himpunan bagian dari ruang tersebut juga otomatis terbatas. Sebab, tidak ada himpunan bagian yang dapat memiliki jarak antartitik yang melebihi batas maksimum yang berlaku pada seluruh ruang.
Contoh Praktis
Untuk memahami konsep ini dengan lebih mudah, mari kita tinjau bidang Kartesius \(\mathbb{R}^2\) yang dilengkapi dengan metrik Euclidean.
Dalam ruang ini, jarak antara dua titik \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\) dihitung menggunakan rumus:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
Sekarang perhatikan himpunan \(A\) yang terdiri atas semua titik di dalam atau pada lingkaran berjari-jari \(10\) dengan pusat di titik asal.
Himpunan tersebut dapat dituliskan sebagai:
$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$
Untuk menentukan apakah \(A\) terbatas, kita perlu mencari suatu nilai \(\mu\) yang lebih besar atau sama dengan jarak antara sembarang dua titik dalam himpunan tersebut.
Jarak terbesar terjadi ketika dua titik berada pada ujung-ujung diameter lingkaran yang saling berhadapan, misalnya titik \((10,0)\) dan \((-10,0)\).
Jarak antara kedua titik tersebut adalah:
$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-20)^2} = 20 $$
Jadi, jarak maksimum antara dua titik dalam himpunan \(A\) adalah \(20\).
Artinya, dua titik mana pun yang dipilih di dalam lingkaran tidak akan pernah memiliki jarak lebih besar dari \(20\).
Karena terdapat batas maksimum yang jelas, yaitu \(20\), maka himpunan \(A\) merupakan himpunan terbatas dengan \(\mu = 20\).
Keterbatasan Metrik Tidak Memengaruhi Topologi
Salah satu fakta menarik dalam topologi adalah bahwa sifat terbatas atau tidak terbatasnya suatu metrik tidak memengaruhi topologi yang diinduksikannya.
Dengan kata lain, struktur himpunan terbuka dan himpunan tertutup dalam suatu ruang tidak ditentukan oleh besar kecilnya nilai jarak, melainkan oleh cara jarak tersebut menggambarkan hubungan antar titik dalam ruang.
Apa itu topologi? Topologi adalah cabang matematika yang mempelajari struktur ruang melalui konsep himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Dalam banyak kasus, nilai numerik jarak tidak terlalu penting. Yang lebih penting adalah bagaimana jarak tersebut menentukan kedekatan antar titik.
Karena alasan ini, metrik yang tidak terbatas dapat diganti dengan metrik terbatas yang ekuivalen tanpa mengubah topologi ruang.
Akibatnya, himpunan terbuka dan himpunan tertutup yang dihasilkan tetap sama.
Contoh
Salah satu cara yang umum digunakan untuk mengubah metrik yang tidak terbatas menjadi metrik terbatas adalah dengan menerapkan fungsi yang "memampatkan" jarak-jarak besar.
Transformasi yang sering digunakan adalah:
$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$
Transformasi ini memiliki sifat yang sangat menarik.
Jika jarak \(d(x, y)\) kecil, maka nilai baru \(d'(x, y)\) hampir sama dengan jarak semula.
Sebagai contoh, jika \(d(x, y) = 1\), maka:
$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$
Namun, ketika \(d(x, y)\) menjadi sangat besar dan mendekati tak hingga, nilai \(d'(x, y)\) akan semakin mendekati \(1\).
Dengan demikian, semua jarak akan dipetakan ke dalam interval
$$ 0 \leq d'(x, y) < 1 $$
tanpa mengubah struktur topologis ruang tersebut.
Sebagai ilustrasi, misalkan ruang metrik \((X, d)\) menggunakan fungsi jarak standar pada garis bilangan real:
$$ d(x, y) = |x - y| $$
Metrik ini tidak terbatas karena dua titik dapat dipilih sedemikian rupa sehingga jaraknya menjadi sebesar apa pun.
Setelah transformasi diterapkan, diperoleh:
$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$
Jika \(x = 1\) dan \(y = 2\), maka:
$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0.5 $$
Sementara itu, jika \(x = 1\) dan \(y = 1000\), diperoleh:
$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0.999 $$
Walaupun jarak awalnya sangat besar, hasil transformasinya tetap berada di bawah \(1\).
Dengan cara ini, semua jarak menjadi terbatas pada interval yang sama.
Meskipun demikian, struktur topologis ruang tidak berubah karena himpunan terbuka dan himpunan tertutup yang ditentukan oleh \(d\) dan \(d'\) tetap identik.
Inilah alasan mengapa dalam topologi, keterbatasan suatu metrik sering kali bukan sifat yang paling penting untuk diperhatikan.
