Teorema Metrik Terbatas

Dalam suatu ruang metrik \( (X, d) \), kita dapat membangun metrik terbatas baru \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \) yang menginduksi topologi yang sama dengan metrik asal \( d \). Dengan kata lain, meskipun fungsi jaraknya diubah, himpunan-himpunan terbuka yang dihasilkan tetap sama.

Secara intuitif, teorema ini menunjukkan bahwa sebuah metrik tidak perlu memiliki nilai jarak yang sangat besar untuk mempertahankan struktur topologis suatu ruang. Kita dapat membatasi semua jarak pada nilai maksimum tertentu tanpa mengubah konsep keterbukaan, kedekatan, maupun kontinuitas.

Metrik baru \( d' \) didefinisikan sebagai:

$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$

Artinya, jika jarak antara dua titik lebih kecil dari 1, nilainya tetap sama seperti pada metrik asli. Namun, jika jaraknya lebih besar dari 1, nilainya diganti menjadi 1.

Karena tidak pernah melebihi 1, metrik \( d' \) disebut sebagai metrik terbatas (bounded metric).

Meskipun demikian, topologi yang diinduksi oleh \( d' \) tetap identik dengan topologi yang diinduksi oleh \( d \).

Akibatnya, semua himpunan terbuka yang diperoleh menggunakan \( d \) juga diperoleh menggunakan \( d' \), dan sebaliknya. Struktur topologis ruang tidak berubah meskipun nilai jaraknya telah dibatasi.

Catatan: Nilai \(1\) pada definisi di atas tidak bersifat khusus. Secara umum, kita dapat menggunakan sembarang bilangan \(\varepsilon > 0\): $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ Dalam kasus ini, semua jarak yang lebih besar dari \(\varepsilon\) dipotong pada nilai tersebut. Walaupun demikian, topologi yang dihasilkan tetap sama. Untuk mempermudah penjelasan, pada artikel ini digunakan \(\varepsilon = 1\).

Contoh Praktis

Pertimbangkan himpunan bilangan real \( \mathbb{R} \) dengan metrik standar:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Sekarang definisikan metrik baru:

$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$

Pada metrik ini, semua jarak yang lebih besar dari 1 akan diganti menjadi 1.

Sebagai contoh, jika \( x = 2 \) dan \( y = 5 \), maka jarak menurut metrik standar adalah \( d(2,5)=|2-5|=3 \). Dengan metrik terbatas diperoleh \( d'(2,5)=\min(3,1)=1 \). Sebaliknya, jika \( x = 2 \) dan \( y = 2.5 \), maka \( d'(2,2.5)=\min(|2-2.5|,1)=0.5 \). Karena jarak tersebut lebih kecil dari 1, nilainya tidak berubah. Dalam kasus ini berlaku \( d=d'=0.5 \). $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Contoh tersebut memperlihatkan bahwa metrik \( d' \) memang memangkas jarak yang besar. Namun, perubahan ini tidak memengaruhi cara kita menentukan titik-titik yang saling berdekatan. Karena itulah topologi yang dihasilkan tetap sama.

Mengapa Topologinya Tidak Berubah?

Dalam ruang metrik, himpunan terbuka dibangun dari bola-bola terbuka. Oleh karena itu, untuk memahami teorema ini kita cukup membandingkan bola terbuka yang dihasilkan oleh kedua metrik tersebut.

Meskipun bola terbuka pada metrik \( d' \) dapat lebih kecil daripada bola terbuka pada metrik \( d \), gabungan beberapa bola terbuka \( d' \) tetap dapat membentuk himpunan terbuka yang sama.

Sebagai contoh, perhatikan bola terbuka \( B_d(3,2) \) yang berpusat di titik \( 3 \) dengan jari-jari \( 2 \).

Secara umum, bola terbuka didefinisikan sebagai:

$$ B_d(x,r)=\{y \in \mathbb{R} \mid d(x,y) < r\} $$

Untuk \( x=3 \) dan \( r=2 \), diperoleh:

$$ B_d(3,2)=\{y \in \mathbb{R} \mid d(3,y)<2\} $$

Dengan menggunakan metrik standar \( d(x,y)=|x-y| \), kita memperoleh:

$$ |3-y| < 2 $$

yang setara dengan:

$$ -2 < 3-y < 2 $$

$$ -5 < -y < -1 $$

$$ 1 < y < 5 $$

Jadi, bola terbuka tersebut sama dengan interval terbuka:

$$ B_d(3,2)=(1,5) $$

Artinya, semua titik pada interval \( (1,5) \) berada pada jarak kurang dari 2 dari titik 3.

Representasinya pada garis bilangan ditunjukkan pada gambar berikut:

Sekarang kita lihat apa yang terjadi jika menggunakan metrik \( d' \).

Untuk menutupi interval \( (1,5) \), kita dapat menggunakan gabungan dua bola terbuka:

$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1) $$

Bola pertama menutupi interval \( (1,3) \), sedangkan bola kedua menutupi interval \( (3,5) \). Gabungan keduanya menghasilkan kembali interval \( (1,5) \).

Contoh sederhana ini memperlihatkan bahwa meskipun bentuk masing-masing bola terbuka berubah, himpunan terbuka yang dapat dibentuk tetap sama. Inilah alasan mengapa kedua metrik menginduksi topologi yang identik.

Pembuktian

Untuk membuktikan teorema ini, pertama-tama kita harus menunjukkan bahwa \( d' \) benar-benar merupakan sebuah metrik.

Metrik \( d' \) memenuhi seluruh aksioma metrik:

• \( d'(x,y)\geq 0 \),
• \( d'(x,y)=0 \) jika dan hanya jika \( x=y \),
• \( d'(x,y)=d'(y,x) \),
• \( d' \) memenuhi ketaksamaan segitiga.

Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa topologi \( T \) yang diinduksi oleh \( d \) dan topologi \( T' \) yang diinduksi oleh \( d' \) adalah sama.

Hal ini dilakukan dengan membuktikan dua inklusi berikut:

• \( T \) lebih halus daripada \( T' \),
• \( T' \) lebih halus daripada \( T \).

A] \( T \) lebih halus daripada \( T' \)

• Jika \( r\leq1 \), maka bola terbuka yang dihasilkan oleh kedua metrik identik: $$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
• Jika \( r>1 \), maka berlaku: $$ B_d(x,r)\supseteq B_{d'}(x,r) $$ sehingga setiap himpunan terbuka dalam \( T' \) juga terbuka dalam \( T \).

B] \( T' \) lebih halus daripada \( T \)

• Jika \( r\leq1 \), kedua metrik menghasilkan bola terbuka yang sama.
• Jika \( r>1 \), setiap himpunan terbuka yang dibangun menggunakan \( d \) dapat ditutupi oleh gabungan bola-bola terbuka yang lebih kecil pada metrik \( d' \).

Dengan demikian, setiap himpunan terbuka dalam \( T \) juga merupakan himpunan terbuka dalam \( T' \).

Kesimpulan

Teorema metrik terbatas menunjukkan bahwa sebuah metrik dapat dimodifikasi menjadi metrik terbatas tanpa mengubah topologi yang diinduksinya.

Karena topologi \( T \) lebih halus daripada \( T' \) dan \( T' \) juga lebih halus daripada \( T \), diperoleh:

$$ T=T' $$

Jadi, meskipun semua jarak yang besar dipotong hingga nilai maksimum tertentu, konsep keterbukaan, kedekatan, kontinuitas, dan seluruh struktur topologis ruang tetap tidak berubah.