Setiap Ruang Metrik Merupakan Ruang Hausdorff
Setiap ruang metrik merupakan ruang Hausdorff. Artinya, setiap topologi yang berasal dari suatu metrik selalu memenuhi sifat Hausdorff. Sebaliknya, jika suatu ruang topologi tidak memenuhi sifat Hausdorff, maka ruang tersebut tidak dapat dibangun dari sebuah metrik.
Sifat Hausdorff merupakan salah satu konsep dasar dalam topologi. Sifat ini menyatakan bahwa setiap dua titik yang berbeda dapat dipisahkan oleh dua himpunan terbuka yang tidak saling beririsan.
Dalam ruang metrik, pemisahan seperti ini selalu dapat dilakukan karena adanya konsep jarak. Jarak memungkinkan kita membangun lingkungan terbuka di sekitar setiap titik dan menggunakannya untuk memisahkan titik-titik yang berbeda.
Catatan. Sifat Hausdorff harus berlaku untuk setiap pasangan titik yang berbeda dalam ruang tersebut, tanpa pengecualian.
Contoh Praktis
Perhatikan bidang Euclid \(\mathbb{R}^2\) yang dilengkapi dengan metrik Euclid standar. Jika \(x=(x_1,x_2)\) dan \(y=(y_1,y_2)\), maka jarak antara kedua titik tersebut didefinisikan oleh rumus:
$$ d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}. $$
Dengan fungsi jarak ini, \(\mathbb{R}^2\) menjadi sebuah ruang metrik.
Sekarang ambil dua titik berbeda \(A\) dan \(B\) pada bidang tersebut. Karena kedua titik tidak berimpit, jarak di antara keduanya bernilai positif:
$$ d(A,B)>0 $$
Pilih jari-jari sebesar setengah dari jarak tersebut:
$$ r=\frac{d(A,B)}{2} $$
Kemudian bentuk dua bola terbuka:
- \(U=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,A)
- \(V=\{P\in\mathbb{R}^2:d(P,B)
Kedua himpunan ini tidak beririsan:
$$ U\cap V=\varnothing $$
Karena itu, \(U\) dan \(V\) berhasil memisahkan titik \(A\) dan \(B\).
Argumen yang sama dapat diterapkan pada sembarang dua titik berbeda di \(\mathbb{R}^2\). Oleh sebab itu, \(\mathbb{R}^2\) memenuhi sifat Hausdorff.
Dengan kata lain, \(\mathbb{R}^2\) adalah ruang Hausdorff.
Contoh Ruang yang Bukan Hausdorff
Sekarang perhatikan himpunan bilangan real \(\mathbb{R}\) yang dilengkapi dengan topologi komplemen hingga (finite complement topology).
Dalam topologi ini, suatu himpunan \(U\subseteq\mathbb{R}\) dikatakan terbuka apabila:
- \(U=\varnothing\), atau
- komplemennya \(\mathbb{R}\setminus U\) merupakan himpunan hingga.
Artinya, sebuah himpunan terbuka harus memuat hampir semua titik di \(\mathbb{R}\), kecuali sejumlah hingga titik.
Ambil dua titik berbeda \(x\) dan \(y\) di \(\mathbb{R}\).
Misalkan \(U\) adalah himpunan terbuka yang memuat \(x\), dan \(V\) adalah himpunan terbuka yang memuat \(y\).
Karena keduanya harus memuat hampir semua titik di \(\mathbb{R}\), maka \(U\) dan \(V\) pasti memiliki banyak titik yang sama.
Akibatnya:
$$ U\cap V\neq\varnothing $$
Dengan demikian, tidak mungkin menemukan dua himpunan terbuka yang saling lepas untuk memisahkan \(x\) dan \(y\).
Contoh konkret. Ambil \(x=1\) dan \(y=2\).
- Pilih himpunan terbuka yang memuat \(1\): $$ U=\mathbb{R}\setminus(2-\epsilon,2+\epsilon) $$
- Pilih himpunan terbuka yang memuat \(2\): $$ V=\mathbb{R}\setminus(1-\epsilon,1+\epsilon) $$
Kedua himpunan tersebut tetap memuat hampir semua bilangan real. Karena itu, irisannya masih sangat besar:
$$ U\cap V=\mathbb{R}\setminus\left[(2-\epsilon,2+\epsilon)\cup(1-\epsilon,1+\epsilon)\right]\neq\emptyset $$
Faktanya, irisan tersebut masih mengandung tak hingga banyak titik. Jadi, titik \(1\) dan \(2\) tidak dapat dipisahkan oleh dua himpunan terbuka yang saling lepas.
Karena syarat Hausdorff gagal dipenuhi, maka ruang \((\mathbb{R},\text{finite complement topology})\) bukan ruang Hausdorff.
Akibatnya, ruang tersebut tidak dapat dimetrisasi.
Pembuktian
Sekarang kita buktikan bahwa setiap ruang metrik selalu merupakan ruang Hausdorff.
Misalkan \((X,d)\) adalah ruang metrik dan \(x,y\in X\) adalah dua titik yang berbeda.
Karena \(x\neq y\), jarak antara keduanya bernilai positif. Misalkan:
$$ d(x,y)=\varepsilon>0 $$
Bentuk dua bola terbuka dengan jari-jari \(\varepsilon/2\):
- \(U=B(x,\varepsilon/2)\),
- \(V=B(y,\varepsilon/2)\).
Kita akan menunjukkan bahwa kedua bola terbuka tersebut tidak beririsan.
Andaikan terdapat titik \(z\) yang berada di \(U\) dan \(V\) sekaligus. Maka:
- \(d(x,z)<\varepsilon/2\),
- \(d(z,y)<\varepsilon/2\).
Berdasarkan ketaksamaan segitiga:
$$ d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) $$
Karena kedua suku di ruas kanan lebih kecil dari \(\varepsilon/2\), diperoleh:
$$ d(x,y)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $$
Sehingga:
$$ d(x,y)<\varepsilon $$
Padahal sejak awal kita mendefinisikan \(d(x,y)=\varepsilon\). Ini merupakan kontradiksi.
Jadi, tidak ada titik yang dapat menjadi anggota \(U\) dan \(V\) secara bersamaan.
Dengan demikian:
$$ U\cap V=\varnothing $$
Kita telah menemukan dua himpunan terbuka yang saling lepas dan masing-masing memuat \(x\) dan \(y\).
Karena argumen ini berlaku untuk setiap pasangan titik berbeda dalam ruang metrik, maka setiap ruang metrik memenuhi sifat Hausdorff.
Dengan demikian, terbukti bahwa setiap ruang metrik merupakan ruang Hausdorff.
